高考数学必做百题第57题（理科2017版）

057.（1）（2016四川理12）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_________.

（2）奖器有$10$个小球，其中$8$个小球上标有数字$2$，$2$个小球上标有数字$5$，现摇出$3$个小球，规定所得奖金（元）为这$3$个小球上记号之和，则此次摇奖获得奖金数额的数学期望是___________。

解：（1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数$\xi $的取值为$0,1,2$，其中$P(\xi =0)=\dfrac{1}{4},P(\xi =1)=\dfrac{1}{2},P(\xi =2)=\dfrac{1}{4},$

在1次试验中成功的概率为$P(\xi \ge 1)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$，

所以在2次试验中成功次数$X$的概率为$P(X=1)=C_{2}^{1}\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}$，$P(X=2)={{(\dfrac{3}{4})}^{2}}=\dfrac{9}{16}$，

$EX=1\times \dfrac{3}{8}+2\times \dfrac{9}{16}=\dfrac{3}{2}$

考点：离散型随机变量的均值

（2）设此次摇奖的奖金数额为$\xi $元，

①当摇出的$3$个小球均标有数字$2$时，$\xi =6$；

②当摇出的$3$个小球中有$2$个标有数字$2$，1个标有数字$5$时，$\xi =9$；

③当摇出的$3$个小球有$1$个标有数字$2$，$2$个标有数字$5$时，$\xi =12$。

∵$P(\xi =6)=\dfrac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}}=\dfrac{7}{15}$, 

$P(\xi =9)=\dfrac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}}=\dfrac{7}{15}$，

$P(\xi =12)=\dfrac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\dfrac{1}{15}$，

∴$E\xi =6\times \dfrac{7}{15}+9\times \dfrac{7}{15}+12\times \dfrac{1}{15}=\dfrac{39}{5}$。

∴此次摇奖获得奖金数额的数字期望是$\dfrac{39}{5}$元。 

考点：古典概型，离散型随机变量的数学期望。