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高考数学必做百题第54题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第56题（理科2017版）
055.（1）设${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$，若${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=63$，则展开式中系数最大的项是( )
$A$．15x2 $B$．20x3 $C$．21x3 $D$．35x3
（2）设$a\in Z$，且$0\le a<13$，若${{51}^{2015}}+a$能被$13$整除，则$a$值为 ( )
$A$．0 $B$．1 $C$．12 $D$．14
（3）(2014济南质检) $\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
$A$．－40 $B$．－20 $C$．20 $D$．40
解：（1）∵${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$，
∴令$x=0$，得${{a}_{0}}=1$；
令$x=1$，则${{\left( 1+1 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=64$，
∴$n=6$。
∵${{\left( 1+x \right)}^{6}}$的展开式二项式系数最大项的系数最大，
∴${{\left( 1+x \right)}^{6}}$的展开式系数最大项为
${{T}_{4}}=C_{6}^{3}{{x}^{3}}=20{{x}^{3}}$。 故选$B$。
（2）${{51}^{2015}}+a={{\left( 52-1 \right)}^{2015}}+a$
$=C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots $
$+C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}+C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a$
∵$C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots +C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}$能被13整除，
又${{51}^{2015}}+a$能被13整除，
∴$C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a=-1+a$也能被13整除，
∴$a$可取值14。 故选$D$。
（3）在$\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$中，令$x=1$，得
$\left( 1+a \right){{\left( 2-1 \right)}^{5}}=1+a=2$，∴$a=1$。
∵${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$展开式的通项
${{T}_{r+1}}=C_{5}^{r}{{\left( 2x \right)}^{5-r}}{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{r}}=C_{5}^{r}{{\left( -1 \right)}^{r}}{{2}^{5-r}}{{x}^{5-2r}}$。
①令$5-2r=1$，得$r=2$，
∴${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$展开式中$x$的系数为
$C_{5}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}{{2}^{5-2}}=80$；
②令$5-2r=-1$，得$r=3$，
∴${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$展开式中$\dfrac{1}{x}$的系数为
$C_{5}^{3}{{\left( -1 \right)}^{3}}{{2}^{5-3}}=-40$。
∴$\left( x+\dfrac{1}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$展开式中常数项为
$80-40=40$。 故选$D$。
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