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2024年高考数学天津15

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（5分）若函数

$f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-\vert ax-2\vert +1$ 有唯一零点，则

$a$ 的取值范围为____．
答案：

$(-\sqrt{3},-1)\bigcup (1,\sqrt{3})$ ．
分析：根据函数的零点与两个函数图象的公共点的关系，构造函数

$g(x)=2\sqrt{x^2-ax}$ 与

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ ，可知

$g(x)$ 与

$h(x)$ 的图象有唯一公共点，分

$a=0$ 、

$a > 0$ 与

$a < 0$ 三种情况进行讨论，当

$a > 0$ 时，计算函数定义域可得

$x\geqslant a$ 或

$x\leqslant 0$ ，进而可得

$a\in (0$ ，

$2]$ 时，两个函数图象在

$y$ 轴左侧有一公共点，因此只需找到当

$a\in (0$ ，

$2]$ 时，在

$y$ 轴右侧两个函数图象没有公共点的情况即可；然后当

$a < 0$ 时，按类似的方式加以讨论算出

$a$ 的取值范围，进而可得答案．
解：根据题意，可得

$x^{2}-ax\geqslant 0$ ，令

$f(x)=0$ ，即

$2\sqrt{x^2-ax}=\vert ax-2\vert -1$ ．
①当

$a=0$ 时，

$x\in R$ ，有

$2\sqrt{x^2}=\vert -2\vert -1=1$ ，则

$x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，不符合题意，舍去；
②当

$a > 0$ 时，由

$x^{2}-ax\geqslant 0$ ，可得

$x\geqslant a$ 或

$x\leqslant 0$ ，则

$2\sqrt{{x}^{2}-ax}=\vert ax-2\vert -1=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ ，
即函数

$g(x)=2\sqrt{x^2-ax}$ 与函数

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ ，有唯一公共点，
当

$x\leqslant 0$ 时，则

$ax-2 < 0$ ，则

$2\sqrt{x^2-ax}=\vert ax-2\vert -1=1-ax$ ，
即

$4x^{2}-4ax=(1-ax)^{2}$ ，整理得

$(4-a^{2})x^{2}-2ax-1=[(2+a)x+1][(2-a)x-1]=0$ ，
当

$a=2$ 时，即

$4x+1=0$ ，即

$x=-\dfrac{1}{4}$ ，
当

$a\in (0,2)$ ，

$x=-\dfrac{1}{2+a}$ 或

$x=\dfrac{1}{2-a} > 0$ （正值舍去），
当

$a\in (2,+\infty )$ 时，

$x=-\dfrac{1}{2+a} < 0$ 或

$x=\dfrac{1}{2-a} < 0$ ，有两解，不符合题意，舍去，
综上所述，当

$a\in (0$ ，

$2]$ 时，

$2\sqrt{x^2-ax}-\vert ax-2\vert +1=0$ 在

$x\leqslant 0$ 时有唯一解，
因此，当

$a\in (0$ ，

$2]$ 时，方程

$2\sqrt{x^2-ax}-\vert ax-2\vert +1=0$ 在

$x\geqslant a$ 时需无解，
当

$a\in (0$ ，

$2]$ ，且

$x\geqslant a$ 时，由函数

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ 关于

$x=\dfrac{2}{a}$ 对称，
令

$h(x)=0$ ，可得

$x=\dfrac{1}{a}x=\dfrac{3}{a}$ ，且函数

$h(x)$ 在

$(\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{a})$ 上单调递减，在

$(\dfrac{2}{a},\dfrac{3}{a})$ 上单调递增，
令

$g(x)=y=2\sqrt{x^2-ax}$ ，即

$\dfrac{(x-\dfrac{a}{2})^2}{\dfrac{a^2}{4}}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ ，
故

$x\geqslant a$ 时，

$g(x)$ 图案为双曲线

$\dfrac{(x)^2}{\dfrac{a^2}{4}}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ 右支在

$x$ 轴上方部分向右平移

$\dfrac{a}{2}$ 所得，
由双曲线

$\dfrac{x^{2}}{\dfrac{a^{2}}{4}}-\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ 的渐近线方程为

$y=\pm \dfrac{a}{\dfrac{a}{2}}x=\pm 2x$ ，即

$g(x)$ 部分的渐近线方程为

$y=2(x-\dfrac{a}{2})$ ，其斜率为2，
又

$a\in (0$ ，

$2]$ ，即

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ 在

$x\geqslant \dfrac{2}{a}$ 时的斜率

$a\in (0$ ，

$2]$ ，
令

$g(x)=2\sqrt{x^2-ax}=0$ ，可得

$x=a$ 或

$x=0$ （舍去），且函数

$g(x)$ 在

$(a,+\infty )$ 上单调递增，
故有

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{1}{a} < a}\\ {\dfrac{3}{a} > a}\end{array}\right.$ ，解得

$1 < a < \sqrt{3}$ ，故

$1 < a < \sqrt{3}$ 符合要求；
③当

$a < 0$ 时，则

$2\sqrt{x^2-ax}=\vert ax-2\vert -1=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\leqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x > \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ ，
即函数

$g(x)=2\sqrt{x^2-ax}$ 与函数

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ 有唯一交点，
由

$x^{2}-ax\geqslant 0$ ，可得

$x\geqslant 0$ 或

$x\leqslant a$ ，
当

$x\geqslant 0$ 时，则

$ax-2 < 0$ ，则

$2\sqrt{x^2-ax}=\vert ax-2\vert -1=1-ax$ ，
即

$4x^{2}-4ax=(1-ax)^{2}$ ，整理得

$(4-a^{2})x^{2}-2ax-1=[(2+a)x+1][(2-a)x-1]=0$ ，
当

$a=-2$ 时，即

$4x-1=0$ ，即

$x=\dfrac{1}{4}$ ，
当

$a\in (-2,0)$ ，

$x=-\dfrac{1}{2+a} < 0$ （负值舍去）或

$x=\dfrac{1}{2-a} > 0$ ，
当

$a\in (-\infty ,2)$ 时，

$x=-\dfrac{1}{2+a} > 0$ 或

$x=\dfrac{1}{2-a} > 0$ ，有两解，舍去，
即当

$a\in [-2$ ，

$0)$ 时，

$2\sqrt{x^2-ax}-\vert ax-2\vert +1=0$ 在

$x\geqslant 0$ 时有唯一解，
则当

$a\in [-2$ ，

$0)$ 时，

$2\sqrt{x^2-ax}-\vert ax-2\vert +1=0$ 在

$x\leqslant a$ 时需无解，
当

$a\in [-2$ ，

$0)$ ，且

$x\leqslant a$ 时，
由函数

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ 关于

$x=\dfrac{2}{a}$ 对称，令

$h(x)=0$ ，可得

$x=\dfrac{1}{a}$ 或

$x=\dfrac{3}{a}$ ．
且函数

$h(x)$ 在

$(\dfrac{2}{a},\dfrac{1}{a})$ 上单调递减，在

$(\dfrac{3}{a},\dfrac{2}{a})$ 上单调递增，
同理可得：

$x\leqslant a$ 时，

$g(x)$ 图像为双值的

$\dfrac{(x)^2}{\dfrac{a^2}{4}}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ 左支的

$x$ 轴上方部分向左平移

$\dfrac{a}{2}$ 所得，

$g(x)$ 部分的渐近线方程为

$y=-2(x+\dfrac{a}{2})$ ，其斜率为

$-2$ ，
又

$a\in [-2$ ，

$0)$ ，即

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}{ax-3,x\geqslant \dfrac{2}{a}}\\ {1-ax,x < \dfrac{2}{a}}\end{array}\right.$ 在

$x < \dfrac{2}{a}$ 时的斜率

$a\in [-2$ ，

$0)$ ，
令

$g(x)=2\sqrt{x^2-ax}=0$ ，可得

$x=a$ 或

$x=0$ （舍去），
且函数

$g(x)$ 在

$(-\infty ,a)$ 上单调递减，
故有

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{1}{a} > a}\\ {\dfrac{3}{a} < a}\end{array}\right.$ ，解得

$-\sqrt{3} < a < -1$ ，故

$-\sqrt{3} < a < -1$ 符合要求；
综上所述，

$a\in (-\sqrt{3},-1)\bigcup (1,\sqrt{3})$ ．
故答案为：

$(-\sqrt{3},-1)\bigcup (1,\sqrt{3})$ ．
点评：本题主要考查基本初等函数的图象与性质、函数的零点与方程的根、函数的单调性及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于难题．

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