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2024年高考数学天津13<-->2024年高考数学天津15
（5分）在正方形ABCD中，边长为1．E为线段CD的三等分点，→EC=12→DE，→BE=λ→BA+μ→BC，则λ+μ=____；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则→AF⋅→DG的最小值为 ____．
答案：43；−518．
分析：由题意可知→BE=→BA+→AD+→DE，再结合→EC=12→DE可得→BE=13→BA+→BC，进而求出λ，μ的值，得到λ+μ的值；设→BF=m→BE(0⩽m⩽1)，可得→AF=(13m−1)→BA+m→BC，→DG=(16m−12)→BA+(12m−1)→BC，易知→BA2=1，→BA⋅→BC=0，即可求出→AF⋅→DG，再结合二次函数的性质求解即可．
解：由题意可知，→BE=→BA+→AD+→DE=→BA+→BC+23→DC=→BA+→BC−23→CD=→BA+→BC−23→BA=13→BA+→BC，
∴λ=13，μ=1，
∴λ+μ=43，
如图：
设→BF=m→BE(0⩽m⩽1)，
则→AF=→AB+→BF=−→BA+m→BE=−→BA+m(13→BA+→BC)=(13m−1)→BA+m→BC，
∵G为AF中点，
∴→DG=→DA+→AG=−→BC+12→AF=−→BC+12[(13m−1)→BA+m→BC]=(16m−12)→BA+(12m−1)→BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴→BA2=1，→BA⋅→BC=0，
∴→AF⋅→DG=[(13m−1)→BA+m→BC]⋅[(16m−12)→BA+(12m−1)→BC]=(13m−1)(16m−12)+m(12m−1)=59m2−43m+12，
对于函数y=59m2−43m+12，对称轴为m=65，
∴函数y=59m2−43m+12在[0，1]上单调递减，
∴当m=1时，函数y=59m2−43m+12取得最小值−518，
即→AF⋅→DG的最小为−518．
故答案为：43；−518．
点评：本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算，考查了二次函数的性质，属于中档题．
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