首页 > 数学 > 高考题 > 2024 > 2024年天津

2024年高考数学天津16

2024年高考数学天津15<-->2024年高考数学天津17

（14分）在

$\Delta ABC$ 中

$,\cos B=\dfrac{9}{16}$ ，

$b=5$ ，

$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{3}$ ．
（1）求

$a$ ；
（2）求

$\sin A$ ；
（3）求

$\cos (B-2A)$ ．

答案：（1）4；（2）

$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ ；（3）

$\dfrac{57}{64}$ ．
分析：（1）设

$a=2k$ ，则

$c=3k$ ，

$k > 0$ ，利用余弦定理能求出

$a$ ；
（2）由同角三角函数关系式，先求出

$\sin B$ ．再由正弦定理求出

$\sin A$ ．
（3）利用二倍角公式求出

$\sin 2A$ ，再由同角三角函数关系式求出

$\cos 2A$ ，利用两角差三角函数能求出

$\cos (B-2A)$ ．
解：（1）在

$\Delta ABC$ 中

$,\cos B=\dfrac{9}{16}$ ，

$b=5$ ，

$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{3}$ ，
设

$a=2k$ ，则

$c=3k$ ，

$k > 0$ ，

$\therefore \cos B=\dfrac{9{k}^{2}+4{k}^{2}-25}{2\times 3k\times 2k}=\dfrac{9}{16}$ ，
解得

$k=2$ ，

$\therefore a=2k=4$ ；
（2）由（1）得

$a=4$ ，

$c=6$ ，

$\sin B=\sqrt{1-(\dfrac{9}{16})^{2}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$ ，
由正弦定理得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ ，即

$\dfrac{4}{\sin A}=\dfrac{5}{\dfrac{5\sqrt{7}}{16}}$ ，
解得

$\sin A=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ ．
（3）

$\because a < b$ ，

$\sin A=\dfrac{\sqrt{7}}{4} < \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin \dfrac{\pi }{4}$ ，

$\therefore A$ 是锐角，且

$A < \dfrac{\pi }{4}$ ，

$\therefore \sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \dfrac{\sqrt{7}}{4}\times \sqrt{1-(\dfrac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ ，

$\cos 2A=\sqrt{1-(\dfrac{3\sqrt{7}}{8})^{2}}=\dfrac{1}{8}$ ，

$\therefore \cos (B-2A)=\cos B\cos 2A+\sin B\sin 2A$

$=\dfrac{9}{16}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{5\sqrt{7}}{16}\times \dfrac{3\sqrt{7}}{8}$

$=\dfrac{57}{64}$ ．
点评：本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

2024年高考数学天津15<-->2024年高考数学天津17

全网搜索"2024年高考数学天津16"相关

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）

活在当下，做最好的自己！

2024年高考数学天津16