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2024年高考数学天津15<-->2024年高考数学天津17
（14分）在$\Delta ABC$中$,\cos B=\dfrac{9}{16}$，$b=5$，$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{3}$．
（1）求$a$；
（2）求$\sin A$；
（3）求$\cos (B-2A)$．
答案：（1）4； （2）$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$； （3）$\dfrac{57}{64}$．
分析：（1）设$a=2k$，则$c=3k$，$k > 0$，利用余弦定理能求出$a$；
（2）由同角三角函数关系式，先求出$\sin B$．再由正弦定理求出$\sin A$．
（3）利用二倍角公式求出$\sin 2A$，再由同角三角函数关系式求出$\cos 2A$，利用两角差三角函数能求出$\cos (B-2A)$．
解：（1）在$\Delta ABC$中$,\cos B=\dfrac{9}{16}$，$b=5$，$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{3}$，
设$a=2k$，则$c=3k$，$k > 0$，
$\therefore \cos B=\dfrac{9{k}^{2}+4{k}^{2}-25}{2\times 3k\times 2k}=\dfrac{9}{16}$，
解得$k=2$，
$\therefore a=2k=4$；
（2）由（1）得$a=4$，$c=6$，$\sin B=\sqrt{1-(\dfrac{9}{16})^{2}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$，
由正弦定理得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，即$\dfrac{4}{\sin A}=\dfrac{5}{\dfrac{5\sqrt{7}}{16}}$，
解得$\sin A=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$．
（3）$\because a < b$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{7}}{4} < \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin \dfrac{\pi }{4}$，$\therefore A$是锐角，且$A < \dfrac{\pi }{4}$，
$\therefore \sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \dfrac{\sqrt{7}}{4}\times \sqrt{1-(\dfrac{\sqrt{7}}{4})^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$，
$\cos 2A=\sqrt{1-(\dfrac{3\sqrt{7}}{8})^{2}}=\dfrac{1}{8}$，
$\therefore \cos (B-2A)=\cos B\cos 2A+\sin B\sin 2A$
$=\dfrac{9}{16}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{5\sqrt{7}}{16}\times \dfrac{3\sqrt{7}}{8}$
$=\dfrac{57}{64}$．
点评：本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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