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2024年高考数学天津8

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（5分）双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的左、右焦点分别为

$F_{1}$ 、

$F_{2}$ ．

$P$ 是双曲线右支上一点，且直线

$PF_{2}$ 的斜率为2，△

$PF_{1}F_{2}$ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1$ B．

$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1$ C．

$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1$ D．

$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$
答案：

$A$
分析：设

$\vert PF_{1}\vert =m$ ，

$\vert PF_{2}\vert =n$ ，则

$m-n=2a$ ，由△

$PF_{1}F_{2}$ 是面积为8的直角三角形，可得

$m^{2}+n^{2}=(2c)^{2}$ ，

$\dfrac{1}{2}mn=8$ ，由直线

$PF_{2}$ 的斜率为2，可得

$\tan \angle F_{1}F_{2}P=\dfrac{m}{n}=2$ ，即

$m=2n$ ，从而求出

$m$ ，

$n$ 的值，进而求出

$a$ ，

$b$ 的值，得到双曲线的方程．
解：根据题意，画出图形，如下图：

设

$\vert PF_{1}\vert =m$ ，

$\vert PF_{2}\vert =n$ ，
则

$m-n=2a$ ，
因为△

$PF_{1}F_{2}$ 是面积为8的直角三角形，
所以

$m^{2}+n^{2}=(2c)^{2}=4c^{2}$ ，

$\dfrac{1}{2}mn=8$ ，
因为直线

$PF_{2}$ 的斜率为2，所以

$\tan \angle F_{1}F_{2}P=\dfrac{m}{n}=2$ ，
所以

$m=2n$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{m=2n}\\ {\dfrac{1}{2}mn=8}\end{array}\right.$ ，解得

$\left\{\begin{array}{l}{m=4\sqrt{2}}\\ {n=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$ ，
所以

$2a=m-n=2\sqrt{2}$ ，即

$a=\sqrt{2}$ ，
所以

$4c^{2}=m^{2}+n^{2}=40$ ，即

$c^{2}=10$ ，
所以

$b^{2}=c^{2}-a^{2}=10-2=8$ ，
所以双曲线的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{8}=1$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的性质，属于中档题．

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