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2023年高考数学新高考Ⅱ-15

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（5分）已知直线

$x-my+1=0$ 与

$\odot C:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，写出满足“

$\Delta ABC$ 面积为

$\dfrac{8}{5}$ ”的

$m$ 的一个值____．
分析：由“

$\Delta ABC$ 面积为

$\dfrac{8}{5}$ ，求得

$\sin \angle ACB=\dfrac{4}{5}$ ，设

$\dfrac{1}{2}\angle ACB=\theta$ ，得到

$\cos \theta$ ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
解：由圆

$C:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ，可得圆心坐标为

$C(1,0)$ ，半径为

$r=2$ ，
因为

$\Delta ABC$ 的面积为

$\dfrac{8}{5}$ ，可得

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin \angle ACB=\dfrac{8}{5}$ ，
解得

$\sin \angle ACB=\dfrac{4}{5}$ ，设

$\dfrac{1}{2}\angle ACB=\theta$ 所以

$\therefore 2\sin \theta \cos \theta =\dfrac{4}{5}$ ，
可得

$\dfrac{2\sin \theta \cos \theta }{si{n}^{2}\theta +co{s}^{2}\theta }=\dfrac{4}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{2\tan \theta }{ta{n}^{2}\theta +1}=\dfrac{4}{5}$ ，

$\therefore \tan \theta =\dfrac{1}{2}$ 或

$\tan \theta =2$ ，

$\therefore \cos \theta =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ 或

$\cos \theta =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ，

$\therefore$ 圆心到直线

$x-my+1=0$ 的距离

$d=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ 或

$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ 或

$\dfrac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ ，
解得

$m=\pm \dfrac{1}{2}$ 或

$m=\pm 2$ ．
故答案为：2（或

$-2$ 或

$\dfrac{1}{2}$ 或

$-\dfrac{1}{2})$ ．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．

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