2023年高考数学新高考Ⅱ-16

（5分）已知函数

$f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ ，如图，

$A$ ，

$B$ 是直线

$y=\dfrac{1}{2}$ 与曲线

$y=f(x)$ 的两个交点，若

$\vert AB\vert =\dfrac{\pi }{6}$ ，则

$f(\pi )=$ 　

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 　．

分析：由

$A$ ，

$B$ 两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定

$\omega$ ，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个

$\varphi$ 值，即可求解．
解：由题意：设

$A(x_{1}$ ，

$\dfrac{1}{2})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$\dfrac{1}{2})$ ，则

$x_{2}-x_{1}=\dfrac{\pi }{6}$ ，
由

$y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象可知：

$\omega x_{2}+\varphi -(\omega x_{1}+\varphi )=\dfrac{5\pi }{6}-\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{2\pi }{3}$ ，即

$\omega (x_{2}-x_{1})=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$\therefore \omega =4$ ，
又

$f(\dfrac{2\pi }{3})=\sin (\dfrac{8\pi }{3}+\varphi )=0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{8\pi }{3}+\varphi =k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
即

$\varphi =-\dfrac{8\pi }{3}+k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
观察图象，可知当

$k=2$ 时，

$\varphi =-\dfrac{2\pi }{3}$ 满足条件，

$\therefore f(\pi )=\sin (4\pi -\dfrac{2\pi }{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
故答案为：

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
点评：本题主要考查根据函数

$y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象确定解析式的方法，属中档题．

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