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2023年高考数学新高考Ⅱ-8

(5分)记$S_{n}$为等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和,若$S_{4}=-5$,$S_{6}=21S_{2}$,则$S_{8}=($  $)$
A.120              B.85              C.$-85$              D.$-120$
答案:$C$
分析:由题意知公比$q\ne 1$,设首项为$a_{1}$,由$S_{6}=21S_{2}$求出$q^{2}$,再代入$S_{4}$求出$\dfrac{{a}_{1}}{1-q}$,由此求得$S_{8}$.
解:等比数列$\{a_{n}\}$中,$S_{4}=5$,$S_{6}=21S_{2}$,显然公比$q\ne 1$,
设首项为$a_{1}$,则$\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{4})}{1-q}=-5$①,$\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{6})}{1-q}=\dfrac{2{1a}_{1}(1{-q}^{2})}{1-q}$②,
化简②得$q^{4}+q^{2}-20=0$,解得$q^{2}=4$或$q^{2}=-5$(不合题意,舍去),
代入①得$\dfrac{{a}_{1}}{1-q}=\dfrac{1}{3}$,
所以$S_{8}=\dfrac{{a}_{1}(1{-q}^{8})}{1-q}=\dfrac{{a}_{1}}{1-q}(1-q^{4})(1+q^{4})=\dfrac{1}{3}\times (-15)\times (1+16)=-85$.
故选:$C$.
点评:本题考查了等比数列的前$n$项和公式计算问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
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