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2023年高考数学新高考Ⅱ-6<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-8
（5分）已知$\alpha$为锐角，$\cos \alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$，则$\sin \dfrac{\alpha }{2}=($ $)$
A．$\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}$ B．$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{8}$ C．$\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ D．$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
答案：$D$
分析：根据已知条件，结合二倍角公式，以及角$\alpha$的取值范围，即可求解．
解：$\cos \alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$，
则$\cos \alpha =1-2si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}$，
故$2si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}=1-\cos \alpha =\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$，即$si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}=\dfrac{(\sqrt{5})^{2}+{1}^{2}-2\sqrt{5}}{16}=\dfrac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}$，
$\because \alpha$为锐角，
$\therefore$$\sin \dfrac{\alpha }{2} > 0$，
$\therefore \sin \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$．
故选：$D$．
点评：本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
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