|
2023年高考数学新高考Ⅱ-5<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-7
（5分）已知函数$f(x)=ae^{x}-\ln x$在区间$(1,2)$上单调递增，则$a$的最小值为$($ $)$
A．$e^{2}$ B．$e$ C．$e^{-1}$ D．$e^{-2}$
答案：$C$
分析：对函数$f(x)$求导，根据题意可得$a\geqslant \dfrac{1}{x{e}^{x}}$在$(1,2)$上恒成立，设$g(x)=\dfrac{1}{x{e}^{x}},x\in (1,2)$，利用导数求出函数$g(x)$的最大值即可得解．
解：对函数$f(x)$求导可得，${f}'(x)=a{e}^{x}-\dfrac{1}{x}$，
依题意，$a{e}^{x}-\dfrac{1}{x}\geqslant 0$在$(1,2)$上恒成立，
即$a\geqslant \dfrac{1}{x{e}^{x}}$在$(1,2)$上恒成立，
设$g(x)=\dfrac{1}{x{e}^{x}},x\in (1,2)$，则${g}'(x)=\dfrac{-({e}^{x}+x{e}^{x})}{(x{e}^{x})^{2}}=-\dfrac{{e}^{x}(x+1)}{(x{e}^{x})^{2}}$，
易知当$x\in (1,2)$时，$g\prime (x) < 0$，
则函数$g(x)$在$(1,2)$上单调递减，
则$a\geqslant g(x)_{max}=g(1)=\dfrac{1}{e}={e}^{-1}$．
故选：$C$．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
2023年高考数学新高考Ⅱ-5<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-7
全网搜索"2023年高考数学新高考Ⅱ-6"相关
|
