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2023年高考数学新高考Ⅰ-20<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-22
（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第$i$次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量$X_{i}$服从两点分布，且$P(X_{i}=1)=1-P(X_{i}=0)=q_{i}$，$i=1$，2，$\dotsb$，$n$，则$E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})=\sum\limits_{i=1}^n{q_i}$．记前$n$次（即从第1次到第$n$次投篮）中甲投篮的次数为$Y$，求$E(Y)$．
答案：（1）第2次投篮的人是乙的概率为0.6；
（2）第$i$次投篮的人是甲的概率为$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$；
（3）$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$，$n\in N$．
分析：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为$P$，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设$P_{n}$为第$n$次投篮的是甲，则$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$，构造得$P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$，结合等比数列的定义可得$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$是首项为$\dfrac{1}{6}$，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；
（3）由（2）得$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$，结合题意可得甲第$i$次投篮次数$Y_{i}$服从两点分布，且$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$，即$E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$，分类讨论$n\geqslant 1$，$n=0$，即可得出答案．
解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为$P$，
由题意得$P=0.5\times 0.4+0.5\times 0.8=0.6$；
（2）由题意设$P_{n}$为第$n$次投篮的是甲，
则$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$，
$\therefore P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$，
又$P_{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\ne 0$，则$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$是首项为$\dfrac{1}{6}$，公比为0.4的等比数列，
$\therefore P_{n}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$，即$P_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$，
$\therefore$第$i$次投篮的人是甲的概率为$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$；
（3）由（2）得$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$，
由题意得甲第$i$次投篮次数$Y_{i}$服从两点分布，且$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$，
$\therefore E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$，
$\therefore$当$n\geqslant 1$时，$E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{2}{5})^{i-1}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{\dfrac{1}{6}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]}{1-\dfrac{2}{5}}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$，
综上所述，$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$，$n\in N$．
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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