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2023年高考数学新高考Ⅰ-21

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（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第

$i$ 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量

$X_{i}$ 服从两点分布，且

$P(X_{i}=1)=1-P(X_{i}=0)=q_{i}$ ，

$i=1$ ，2，

$\dotsb$ ，

$n$ ，则

$E(\sum\limits_{i=1}^n{X_i})=\sum\limits_{i=1}^n{q_i}$ ．记前

$n$ 次（即从第1次到第

$n$ 次投篮）中甲投篮的次数为

$Y$ ，求

$E(Y)$ ．
答案：（1）第2次投篮的人是乙的概率为0.6；
（2）第

$i$ 次投篮的人是甲的概率为

$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$ ；
（3）

$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$ ，

$n\in N$ ．
分析：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为

$P$ ，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设

$P_{n}$ 为第

$n$ 次投篮的是甲，则

$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$ ，构造得

$P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$ ，结合等比数列的定义可得

$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$ 是首项为

$\dfrac{1}{6}$ ，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；
（3）由（2）得

$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$ ，结合题意可得甲第

$i$ 次投篮次数

$Y_{i}$ 服从两点分布，且

$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$ ，即

$E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$ ，分类讨论

$n\geqslant 1$ ，

$n=0$ ，即可得出答案．
解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为

$P$ ，
由题意得

$P=0.5\times 0.4+0.5\times 0.8=0.6$ ；
（2）由题意设

$P_{n}$ 为第

$n$ 次投篮的是甲，
则

$P_{n+1}=0.6P_{n}+0.2(1-P_{n})=0.4P_{n}+0.2$ ，

$\therefore P_{n+1}-\dfrac{1}{3}=0.4(P_{n}-\dfrac{1}{3})$ ，
又

$P_{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\ne 0$ ，则

$\{P_{n}-\dfrac{1}{3}\}$ 是首项为

$\dfrac{1}{6}$ ，公比为0.4的等比数列，

$\therefore P_{n}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$ ，即

$P_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{n-1}$ ，

$\therefore$ 第

$i$ 次投篮的人是甲的概率为

$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$ ；
（3）由（2）得

$P_{i}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times (\dfrac{2}{5})^{i-1}$ ，
由题意得甲第

$i$ 次投篮次数

$Y_{i}$ 服从两点分布，且

$P(Y_{i}=1)=1-P(Y_{i}=0)=P_{i}$ ，

$\therefore E(\sum\limits_{i=1}^{n}{Y}_{i})=E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}$ ，

$\therefore$ 当

$n\geqslant 1$ 时，

$E(Y)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P}_{i}=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{2}{5})^{i-1}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{\dfrac{1}{6}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]}{1-\dfrac{2}{5}}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$ ，
综上所述，

$E(Y)=\dfrac{5}{18}[1-(\dfrac{2}{5})^{n}]+\dfrac{n}{3}$ ，

$n\in N$ ．
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

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