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2023年高考数学新高考Ⅰ-2<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-4
（5分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,-1)$．若$(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b})$，则$($ $)$
A．$\lambda +\mu =1$ B．$\lambda +\mu =-1$ C．$\lambda \mu =1$ D．$\lambda \mu =-1$
答案：$D$
分析：由已知求得$\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
解：$\because$$\overrightarrow{a}=(1,1)$，$\overrightarrow{b}=(1,-1)$，
$\therefore$$\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}=(\lambda +1,1-\lambda )$，$\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}=(\mu +1,1-\mu )$，
由$(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b})$，得$(\lambda +1)(\mu +1)+(1-\lambda )(1-\mu )=0$，
整理得：$2\lambda \mu +2=0$，即$\lambda \mu =-1$．
故选：$D$．
点评：本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
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