2023年高考数学新高考Ⅰ-3

（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}=(1,1)$ ，

$\overrightarrow{b}=(1,-1)$ ．若

$(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b})$ ，则

$($ 　　

$)$
A．

$\lambda +\mu =1$ B．

$\lambda +\mu =-1$ C．

$\lambda \mu =1$ D．

$\lambda \mu =-1$
答案：

$D$
分析：由已知求得

$\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$ 与

$\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$ 的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
解：

$\because$

$\overrightarrow{a}=(1,1)$ ，

$\overrightarrow{b}=(1,-1)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}=(\lambda +1,1-\lambda )$ ，

$\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}=(\mu +1,1-\mu )$ ，
由

$(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b})\bot (\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b})$ ，得

$(\lambda +1)(\mu +1)+(1-\lambda )(1-\mu )=0$ ，
整理得：

$2\lambda \mu +2=0$ ，即

$\lambda \mu =-1$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．

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