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2023年高考数学上海春19

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（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”

$S=\dfrac{F_0}{V_0}$ ，其中

$F_{0}$ 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），

$V_{0}$ 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为

$R$ ，高度为

$H$ ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”

$S$ ；（结果用含

$R$ 、

$H$ 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为

$f=\dfrac{L^2}{A}$ ，其中

$A$ 为建筑物底面面积，

$L$ 为建筑物底面周长，又定义

$T$ 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设

$n$ 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为

$S=\sqrt{\dfrac{f\cdot n}{T}}+\dfrac{1}{3n}$ ．当

$f=18$ ，

$T=10000$ 时，试求当该宿舍楼的层数

$n$ 为多少时，“体形系数”

$S$ 最小．
分析：（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中

$S$ 的定义求解即可；
（2）利用导函数求

$S$ 的单调性，即可求出

$S$ 最小时

$n$ 的值．
解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

${F}_{0}=2\pi RH+\pi R^{2}\cdot {V}_{0}=\pi R^{2}H$ ，
所以

$S=\dfrac{{F}_{0}}{{V}_{0}}=\dfrac{\pi R(2H+R)}{\pi R^{2}H}=\dfrac{2H+R}{HR}$ ．
（2）由题意可得

$S=\sqrt{\dfrac{18n}{10000}}+\dfrac{1}{3n}=\dfrac{3\sqrt{2n}}{100}+\dfrac{1}{3n}$ ，

$n\in N^{*}$ ，
所以

$S\prime =\dfrac{3\sqrt{2}}{200\sqrt{n}}-\dfrac{1}{3{n}^{2}}=\dfrac{9\sqrt{2}{n}^{\dfrac{3}{2}}-200}{600{n}^{2}}$ ，
令

$S\prime =0$ ，解得

$n=\sqrt[3]{\dfrac{20000}{81}}\approx 6.27$ ，
所以

$S$ 在

$[1$ ，

$6.27]$ 单调递减，在

$[6.27$ ，

$+\infty )$ 单调递增，
所以

$S$ 的最小值在

$n=6$ 或7取得，
当

$n=6$ 时，

$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 6}}{100}+\dfrac{1}{3\times 6}\approx 0.31$ ，
当

$n=7$ 时，

$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 7}}{100}+\dfrac{1}{3\times 7}\approx 0.16$ ，
所以在

$n=6$ 时，该建筑体

$S$ 最小．
点评：本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．

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