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2023年高考数学上海春18

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（14分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ 、

$B$ 、

$C$ 所对应的边分别为

$a$ 、

$b$ 、

$c$ ，其中

$b=2$ ．
（1）若

$A+C=120^\circ$ ，

$a=2c$ ，求边长

$c$ ；
（2）若

$A-C=15^\circ$ ，

$a=\sqrt{2}c\sin A$ ，求

$\Delta ABC$ 的面积．
分析：（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求

$A$ ，

$B$ ，

$C$ ，然后结合锐角三角函数即可求解；
（2）由已知结合正弦定理先求出

$\sin C$ ，进而可求

$C$ ，再由正弦定理求出

$a$ ，结合三角形面积公式可求．
解：（1）

$\because A+C=120^\circ$ ，且

$a=2c$ ，

$\therefore \sin A=2\sin C=2\sin (120^\circ -A)=\sqrt{3}\cos A+\sin A$ ，

$\therefore \cos A=0$ ，

$\therefore A=90^\circ$ ，

$C=30^\circ$ ，

$B=60^\circ$ ，

$\because b=2$ ，

$\therefore c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ；
（2）

$a=\sqrt{2}c\sin A$ ，
则

$\sin A=\sqrt{2}\sin C\sin A$ ，

$\sin A > 0$ ，

$\therefore \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$\because A-C=15^\circ$ ，

$\therefore C$ 为锐角，

$\therefore C=45^\circ$ ，

$A=60^\circ$ ，

$B=75^\circ$ ，

$\therefore$

$\dfrac{a}{\sin 60^\circ }=\dfrac{2}{\sin 75^\circ }=\dfrac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ ，

$\therefore a=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$ ，

$\therefore S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\times 2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{3}$ ．
点评：本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

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