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2023年高考数学上海春20

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（18分）已知椭圆

$\Gamma :\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{3}=1(m > 0$ 且

$m\ne \sqrt{3})$ ．
（1）若

$m=2$ ，求椭圆

$\Gamma$ 的离心率；
（2）设

$A_{1}$ 、

$A_{2}$ 为椭圆

$\Gamma$ 的左右顶点，椭圆

$\Gamma$ 上一点

$E$ 的纵坐标为1，且

$\overrightarrow{E{A_1}}\cdot \overrightarrow{E{A_2}}=-2$ ，求实数

$m$ 的值；
（3）过椭圆

$\Gamma$ 上一点

$P$ 作斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线

$l$ ，若直线

$l$ 与双曲线

$\dfrac{y^2}{5{m^2}}-\dfrac{x^2}{5}=1$ 有且仅有一个公共点，求实数

$m$ 的取值范围．
分析：（1）由题意可得

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，可求离心率；
（2）由已知得

$A_{1}(-m,0)$ ，

$A_{2}(m,0)$ ，设

$E(p,1)$ ，由已知可得

$p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$ ，

$p^{2}-m^{2}+1=-2$ ，求解即可；
（3）设直线

$y=\sqrt{3}x+t$ ，与椭圆方程联立可得

$t^{2}\leqslant 3m^{2}+3$ ，与双曲线方程联立可得

$t^{2}=5m^{2}-15$ ，可求

$m$ 的取值范围．
解：（1）若

$m=2$ ，则

$a^{2}=4$ ，

$b^{2}=3$ ，

$\therefore a=2$ ，

$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$ ，

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$ ；
（2）由已知得

$A_{1}(-m,0)$ ，

$A_{2}(m,0)$ ，设

$E(p,1)$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{p}^{2}}{{m}^{2}}+\dfrac{1}{3}=1$ ，即

$p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{E{A}_{1}}=(-m-p,-1)$ ，

$\overrightarrow{E{A}_{2}}=(m-p,-1)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{E{A}_{1}}\cdot \overrightarrow{E{A}_{2}}=(-m-p$ ，

$-1)\cdot (m-p$ ，

$-1)=p^{2}-m^{2}+1=-2$ ，

$\because p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$ ，代入求得

$m=3$ ；
（3）设直线

$y=\sqrt{3}x+t$ ，联立椭圆可得

$\dfrac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\dfrac{(\sqrt{3}x+t)^{2}}{3}=1$ ，
整理得

$(3+3m^{2})x^{2}+2\sqrt{3}tm^{2}x+(t^{2}-3)m^{2}=0$ ，
由△

$\geqslant 0$ ，

$\therefore t^{2}\leqslant 3m^{2}+3$ ，
联立双曲线可得

$\dfrac{(\sqrt{3}x+t)^{2}}{5{m}^{2}}-\dfrac{{x}^{2}}{5}=1$ ，整理得

$(3-m^{2})x^{2}+2\sqrt{3}tx+(t^{2}-5m^{2})=0$ ，
由△

$=0$ ，

$t^{2}=5m^{2}-15$ ，

$\therefore 5m^{2}-15\leqslant 3m^{2}+3$ ，

$\therefore -3\leqslant m\leqslant 3$ ，
又

$5m^{2}-15\geqslant 0$ ，

$\therefore m\geqslant \sqrt{3}$ ，

$\because m\ne \sqrt{3}$ ，
综上所述：

$m\in (\sqrt{3}$ ，

$3]$ ．
点评：本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题．

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