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2022年高考数学天津16

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（15分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对的边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ．已知

$a=\sqrt{6}$ ，

$b=2c$ ，

$\cos A=-\dfrac{1}{4}$ ．
（1）求

$c$ 的值；
（2）求

$\sin$

$B$ 的值；
（3）求

$\sin (2A-B)$ 的值．
分析：（1）由余弦定理及题中条件可得

$c$ 边的值；
（2）由正弦定理可得

$\sin C$ 的值，再由

$b=2c$ 及正弦定理可得

$\sin B$ 的值；
（3）求出

$2A$ 及

$B$ 角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得

$2A-B$ 的正弦值．
解（1）因为

$a=\sqrt{6}$ ，

$b=2c$ ，

$\cos A=-\dfrac{1}{4}$ ，
由余弦定理可得

$\cos A=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{4{c}^{2}+{c}^{2}-6}{4{c}^{2}}=-\dfrac{1}{4}$ ，
解得：

$c=1$ ；
（2）

$\cos A=-\dfrac{1}{4}$ ，

$A\in (0,\pi )$ ，所以

$\sin A=\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ，
由

$b=2c$ ，可得

$\sin B=2\sin C$ ，
由正弦定理可得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$ ，即

$\dfrac{\sqrt{6}}{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{1}{\sin C}$ ，
可得

$\sin C=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ ，
所以

$\sin B=2\sin C=2\times \dfrac{\sqrt{10}}{8}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ ；
（3）因为

$\cos A=-\dfrac{1}{4}$ ，

$\sin A=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ，
所以

$\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times (-\dfrac{1}{4})\times \dfrac{\sqrt{15}}{4}=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}$ ，

$\cos 2A=2\cos ^{2}A-1=2\times \dfrac{1}{16}-1=-\dfrac{7}{8}$ ，

$\sin B=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ ，可得

$\cos B=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ ，
所以

$\sin (2A-B)=\sin 2A\cos B-\cos 2A\sin B=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}-(-\dfrac{7}{8})\times \dfrac{\sqrt{10}}{4}=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ ，
所以

$\sin (2A-B)$ 的值为

$\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ ．
点评：本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．

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