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2022年高考数学天津16<-->2022年高考数学天津18
（15分）直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
（1）求证：EF//平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
分析：利用中位线可证（1），建立空间直角坐标系设→n=(x，y，z)是平面CC1D的法向量，平面A1CD的法向量为→m=(x，y，z)，可解．
解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，
再连接FK，
∵EK//A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，
∴FK//AC，EG//AB，
又FK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴FK//平面ABC，
同理可得，EG//平面ABC，
又FK⋂EG=K，
∴平面EFG//平面ABC，
∴EF//平面ABC，
（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又AA1=AB=AC=2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．
故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，
则→BE=(−1，−2，0)，→CC1=(−2，0，0)，→CD=(−2，1，−2)，
设→n=(x，y，z)是平面CC1D的法向量，则有：→n⋅→CC1=0，→n⋅→CD=0，即{−2x=0−2x+y−2z=0，令z=1，则x=0，y=2，
所以→n=(0,2,1)，
设直线BE与平面CC1D的夹角为θ，则sinθ=|cos<→BE,→n>|=|−2×2√5×√5|=45，
（3）∵A1(0，0，0)，则→A1C=(2，0，2)，→A1D=(0，1，0)，
设平面A1CD的法向量为→m=(x，y，z)，则有→m⋅→A1C=0，→m⋅→A1D=0，
即{2x+2z=0y=0，令x=1，则y=0，z=−1，故→m=(1,0,−1)，
设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β，
所以cosβ=|cos<→n,→m>|=|−1×1√5×√2|=√1010．
点评：本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．
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