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2022年高考数学天津15

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（5分）设

$a\in R$ ，对任意实数

$x$ ，记

$f(x)=min\{\vert x\vert -2$ ，

$x^{2}-ax+3a-5\}$ ．若

$f(x)$ 至少有3个零点，则实数

$a$ 的取值范围为　

$[10$ ，

$+\infty )$ 　．
分析：设

$g(x)=x^{2}-ax+3a-5$ ，

$h(x)=\vert x\vert -2$ ，分析可知函数

$g(x)$ 至少有一个零点，可得出△

$\geqslant 0$ ，求出

$a$ 的取值范围，然后对实数

$a$ 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数

$a$ 的不等式，综合可求得实数

$a$ 的取值范围．
解：设

$g(x)=x^{2}-ax+3a-5$ ，

$h(x)=\vert x\vert -2$ ，由

$\vert x\vert -2=0$ 可得

$x=\pm 2$ ．
要使得函数

$f(x)$ 至少有3个零点，则函数

$g(x)$ 至少有一个零点，
则△

$=a^{2}-4(3a-5)\geqslant 0$ ，
解得

$a\leqslant 2$ 或

$a\geqslant 10$ ．
①当

$a=2$ 时，

$g(x)=x^{2}-2x+1$ ，作出函数

$g(x)$ 、

$h(x)$ 的图象如图所示：

此时函数

$f(x)$ 只有两个零点，不满足题意；
②当

$a < 2$ 时，设函数

$g(x)$ 的两个零点分别为

$x_{1}$ 、

$x_{2}(x_{1} < x_{2})$ ，
要使得函数

$f(x)$ 至少有3个零点，则

$x_{2}\leqslant -2$ ，
所以，

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{2} < -2}\\ {g(-2)=5a-1\geqslant 0}\end{array}\right.$ ，解得

$a\in \O$ ；
③当

$a=10$ 时，

$g(x)=x^{2}-10x+25$ ，作出函数

$g(x)$ 、

$h(x)$ 的图象如图所示：

由图可知，函数

$f(x)$ 的零点个数为3，满足题意；
④当

$a > 10$ 时，设函数

$g(x)$ 的两个零点分别为

$x_{3}$ 、

$x_{4}(x_{3} < x_{4})$ ，
要使得函数

$f(x)$ 至少有3个零点，则

$x_{3}\geqslant 2$ ，
可得

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{a}{2} > 2}\\ {g(2)=a-1\geqslant 0}\end{array}\right.$ ，解得

$a > 4$ ，此时

$a > 10$ ．
综上所述，实数

$a$ 的取值范围是

$[10$ ，

$+\infty )$ ．
故答案为：

$[10$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．

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