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2022年高考数学上海春20

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（16分）已知椭圆

$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$ ，

$A$ 、

$B$ 两点分别为

$\Gamma$ 的左顶点、下顶点，

$C$ 、

$D$ 两点均在直线

$l:x=a$ 上，且

$C$ 在第一象限．
（1）设

$F$ 是椭圆

$\Gamma$ 的右焦点，且

$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$ ，求

$\Gamma$ 的标准方程；
（2）若

$C$ 、

$D$ 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线

$AD$ 与直线

$BC$ 的交点是否在椭圆

$\Gamma$ 上，并说明理由；
（3）设直线

$AD$ 、

$BC$ 分别交椭圆

$\Gamma$ 于点

$P$ 、点

$Q$ ，若

$P$ 、

$Q$ 关于原点对称，求

$\vert CD\vert$ 的最小值．
分析：（1）根据条件可得

$\tan \angle AFB=\dfrac{1}{c}$ ，解出

$c$ ，利用

$a2=b2+c2$ ，求得

$a$ ，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线

$BC$ 、直线

$AD$ 的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设

$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$ ，

$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$ ，表示出直线

$BP$ 、直线

$AQ$ 方程，解出

$C$ 、

$D$ 坐标，表示出

$\vert CD\vert$ ，再利用基本不等式即可求出答案．
解：（1）由题可得

$B(0,-1)$ ，

$F(c,0)$ ，
因为

$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$ ，所以

$\tan \angle AFB=\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}=\tan \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，解得

$c=\sqrt{3}$ ，
所以

$a2=1+(\sqrt{3})2=4$ ，故

$\Gamma$ 的标准方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{4}+y2=1$ ；
（2）直线

$AD$ 与直线

$BC$ 的交点在椭圆上，
由题可得此时

$A(-a,0)$ ，

$B(0,-1)$ ，

$C(a,2)$ ，

$D(a,1)$ ，
则直线

$BC:y=\dfrac{3}{a}x-1$ ，直线

$AD:y=\dfrac{1}{2a}x+\dfrac{1}{2}$ ，交点为

$(\dfrac{3a}{5}$ ，

$\dfrac{4}{5})$ ，满足

$\dfrac{(\dfrac{3a}{5})^{2}}{{a}^{2}}+(\dfrac{4}{5})^{2}=1$ ，
故直线

$AD$ 与直线

$BC$ 的交点在椭圆上；
（3）

$B(0,-1)$ ，

$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$ ，则直线

$BP:y=\dfrac{\sin \theta +1}{a\cos \theta }x-1$ ，所以

$C(a,\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1)$ ，

$A(-a,0)$ ，

$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$ ，则直线

$AQ:y=\dfrac{\sin \theta }{a\cos \theta -a}(x+a)$ ，所以

$D(a,\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1})$ ，
所以

$\vert CD\vert =\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1-\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1}=\dfrac{2\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}+\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}+\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}}{\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}-\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-\dfrac{4\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}}{-2\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-1$ ，
设

$\tan \dfrac{\theta }{2}=t$ ，则

$\vert CD\vert =2(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t})-2$ ，
因为

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{4}{a+b}$ ，所以

$\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t}\geqslant \dfrac{4}{1-t+t}=4$ ，
则

$\vert CD\vert \geqslant 6$ ，即

$\vert CD\vert$ 的最小值为6．
点评：本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．

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