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2022年高考数学上海春19

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（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块

$ABCD$ ，

$AB=30m$ ，

$AD=15m$ ．为保护

$D$ 处的一棵古树，有关部门划定了以

$D$ 为圆心、

$DA$ 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为

$AB$ 边上的点

$E$ ，出线口为

$CD$ 边上的点

$F$ ，施工要求

$EF$ 与封闭区边界相切，

$EF$ 右侧的四边形地块

$BCFE$ 将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到

$0.1m$ ，计算面积精确到

$0.01m^{2})$
（1）若

$\angle ADE=20^\circ$ ，求

$EF$ 的长；
（2）当入线口

$E$ 在

$AB$ 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

分析：（1）作

$DH\bot EF$ ，然后结合锐角三角函数定义表示出

$EF$ ，
（2）设

$\angle ADE=\theta$ ，结合锐角三角函数定义可表示

$AE$ ，

$FH$ ，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
解：（1）作

$DH\bot EF$ ，垂足为

$H$ ，
则

$EF=EH+HF=15\tan 20^\circ +15\tan 50^\circ \approx 23.3m$ ；
（2）设

$\angle ADE=\theta$ ，则

$AE=15\tan \theta$ ，

$FH=15\tan (90^\circ -2\theta )$ ，

${{S}_{ADFE}}=2{{S}_{\Delta ADE}}+{{S}_{\Delta DFH}}=2\times \dfrac{1}{2}\times 15\times 15\tan\theta +\dfrac{1}{2}\times 15\times 15\tan\left( 90{}^\circ -2\theta \right)$ ，

$=\dfrac{15}{2}(30\tan \theta +15\cot 2\theta )=\dfrac{15}{2}(30\tan \theta +15\times \dfrac{1+\tan^{2}\theta }{2\tan \theta })=\dfrac{225}{4}(3\tan \theta +\dfrac{1}{\tan \theta })\geqslant \dfrac{225\sqrt{3}}{3}$ ，
当且仅当

$3\tan \theta =\dfrac{1}{\tan \theta }$ ，即

$\tan \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 时取等号，此时

$AE=15\tan \theta =5\sqrt{3}$ ，最大面积为

$450-\dfrac{225\sqrt{3}}{2}\approx 255.14m^{2}$ ．

点评：本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．

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