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2022年高考数学上海春18

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（14分）已知在数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$a_{2}=1$ ，其前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ．
（1）若

$\{a_{n}\}$ 是等比数列，

$S_{2}=3$ ，求

$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}$ ；
（2）若

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，

$S_{2n}\geqslant n$ ，求其公差

$d$ 的取值范围．
分析：（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前

$n$ 项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前

$2n$ 项和，代入

$S_{2n}\geqslant n$ ，对

$n$ 分类分析得答案．
解：（1）在等比数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$a_{2}=1$ ，

$S_{2}=3$ ，则

$a_{1}=2$ ，

$\therefore$ 公比

$q=\dfrac{1}{2}$ ，则

${S}_{n}=\dfrac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=4(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})$ ，

$\therefore$

$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }4(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})=4$ ；
（2）若

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，
则

${S}_{2n}=\dfrac{({a}_{2}+{a}_{2n-1})\cdot 2n}{2}=2d{n}^{2}+(2-3d)n\geqslant n$ ，
即

$(3-2n)d\leqslant 1$ ，当

$n=1$ 时，

$d\leqslant 1$ ；
当

$n\geqslant 2$ 时，

$d\geqslant \dfrac{1}{3-2n}$ 恒成立，

$\because$

$\dfrac{1}{3-2n}\in [-1$ ，

$0)$ ，

$\therefore d\geqslant 0$ ．
综上所述，

$d\in [0$ ，

$1]$ ．
点评：本题考查等差数列与等比数列前

$n$ 项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．

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