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2022年高考数学上海春17<-->2022年高考数学上海春19
（14分）已知在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=1$，其前$n$项和为$S_{n}$．
（1）若$\{a_{n}\}$是等比数列，$S_{2}=3$，求$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}$；
（2）若$\{a_{n}\}$是等差数列，$S_{2n}\geqslant n$，求其公差$d$的取值范围．
分析：（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前$n$项和，求极限得答案；
（2）求出等差数列的前$2n$项和，代入$S_{2n}\geqslant n$，对$n$分类分析得答案．
解：（1）在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=1$，$S_{2}=3$，则$a_{1}=2$，
$\therefore$公比$q=\dfrac{1}{2}$，则${S}_{n}=\dfrac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=4(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})$，
$\therefore$$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }4(1-\dfrac{1}{{2}^{n}})=4$；
（2）若$\{a_{n}\}$是等差数列，
则${S}_{2n}=\dfrac{({a}_{2}+{a}_{2n-1})\cdot 2n}{2}=2d{n}^{2}+(2-3d)n\geqslant n$，
即$(3-2n)d\leqslant 1$，当$n=1$时，$d\leqslant 1$；
当$n\geqslant 2$时，$d\geqslant \dfrac{1}{3-2n}$恒成立，$\because$$\dfrac{1}{3-2n}\in [-1$，$0)$，$\therefore d\geqslant 0$．
综上所述，$d\in [0$，$1]$．
点评：本题考查等差数列与等比数列前$n$项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．
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