2022年高考数学上海春17

（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为

$O$ 、

$O_{1}$ ，

$AA_{1}$ 为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若

$AA_{1}=4$ ，

$M$ 为

$AA_{1}$ 的中点，求直线

$MO_{1}$ 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过

$OO_{1}$ 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

分析：（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．
解：（1）因为

$AA_{1}$ 为圆柱的母线，所以

$AA_{1}$ 垂直于上底面，
所以

$\angle MO_{1}A_{1}$ 是直线

$MO_{1}$ 与上底面所成角，

$\tan \angle MO_{1}A_{1}=\dfrac{{A}_{1}M}{{O}_{1}{A}_{1}}=\dfrac{2}{1}=2$ ，
所以

$\angle MO_{1}A_{1}=\arctan 2$ ．
（2）因为圆柱过

$OO_{1}$ 的截面为正方形，所以

$AA_{1}=2$ ，
所以圆柱的体积为

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 1^{2}\cdot 2=2\pi$ ，
圆柱的侧面积为

$S=2\pi rh=2\pi \cdot 1\cdot 2=4\pi$ ．

点评：本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．

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