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2022年高考数学上海春21

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（18分）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，现有两种对

$f(x)$ 变换的操作：

$\varphi$ 变换：

$f(x)-f(x-t)$ ；

$\omega$ 变换：

$\vert f(x+t)-f(x)\vert$ ，其中

$t$ 为大于0的常数．
（1）设

$f(x)=2^{x}$ ，

$t=1$ ，

$g(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\varphi$ 变换后的结果，解方程：

$g(x)=2$ ；
（2）设

$f(x)=x^{2}$ ，

$h(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\omega$ 变换后的结果，解不等式：

$f(x)\geqslant h(x)$ ；
（3）设

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递增，

$f(x)$ 先做

$\varphi$ 变换后得到

$u(x)$ ，

$u(x)$ 再做

$\omega$ 变换后得到

$h_{1}(x)$ ；

$f(x)$ 先做

$\omega$ 变换后得到

$v(x)$ ，

$v(x)$ 再做

$\varphi$ 变换后得到

$h_{2}(x)$ ．若

$h_{1}(x)=h_{2}(x)$ 恒成立，证明：函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增．
分析：（1）推导出

$g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$ ，由此能求出

$x$ ．
（2）推导出

$x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$ ，当

$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$ 时，

$f(x)\geqslant h(x)$ 恒成立；当

$x > -\dfrac{t}{2}$ 时，

$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$ ，由此能求出

$f(x)\geqslant h(x)$ 的解集．
（3）先求出

$u(x)=f(x)-f(x-t)$ ，从而

$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$ ，先求出

$v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$ ，从而

$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$ ，由

$h_{1}(x)=h_{2}(x)$ ，得

$\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$ ，再由

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递增，能证明函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增．
解：（1）

$\because f(x)=2^{x}$ ，

$t=1$ ，

$g(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\varphi$ 变换后的结果，

$g(x)=2$ ，

$\therefore g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$ ，
解得

$x=2$ ．
（2）

$\because f(x)=x^{2}$ ，

$h(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\omega$ 变换后的结果，

$f(x)\geqslant h(x)$ ，

$\therefore x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$ ，
当

$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$ 时，

$f(x)\geqslant h(x)$ 恒成立；
当

$x > -\dfrac{t}{2}$ 时，

$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$ ，
解得

$x\geqslant (1+\sqrt{2})t$ ，或

$x\leqslant (1-\sqrt{2})t$ ，
综上，不等式：

$f(x)\geqslant h(x)$ 的解集为

$(-\infty$ ，

$(1-\sqrt{2})t]\bigcup{[}(1+\sqrt{2})t$ ，

$+\infty )$ ．
（3）证明：

$f(x)$ 先做

$\varphi$ 变换后得到

$u(x)$ ，

$u(x)$ 再做

$\omega$ 变换后得到

$h_{1}(x)$ ，

$\therefore u(x)=f(x)-f(x-t)$ ，

$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$ ，

$f(x)$ 先做

$\omega$ 变换后得到

$v(x)$ ，

$v(x)$ 再做

$\varphi$ 变换后得到

$h_{2}(x)$ ，

$\therefore v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$ ，

$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$ ，

$\because h_{1}(x)=h_{2}(x)$ ，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递增，

$\therefore \vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$ ，

$\because t > 0$ ，

$\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}{f(x+t)-f(t) > f(t)-f(t-1)}\\ {f(x+t)-f(x) > 0}\\ {f(x) > f(x-t)}\end{array}\right.$ ，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增．
点评：本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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