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2022年高考数学乙卷-文16<-->2022年高考数学乙卷-文18
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$．
（1）若$A=2B$，求$C$；
（2）证明：$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$．
分析：（1）由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$，结合$A=2B$，可得$\sin C=\sin (C-A)$，即$C+C-A=\pi$，再由三角形内角和定理列式求解$C$；
（2）把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论．
解：（1）由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$，
又$A=2B$，$\therefore \sin C\sin B=\sin B\sin (C-A)$，
$\because \sin B\ne 0$，$\therefore \sin C=\sin (C-A)$，即$C=C-A$（舍去）或$C+C-A=\pi$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{A=2B}\\ {2C-A=\pi }\\ {A+B+C=\pi }\end{array}\right.$，解得$C=\dfrac{5}{8}\pi$；
证明：（2）由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$，
得$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$，
由正弦定理可得$ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$，
由余弦定理可得：$ac\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
整理可得：$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$．
点评：本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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