91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年全国乙文 > 正文 返回 打印

2022年高考数学乙卷-文17

  2022-12-16 17:37:49  

(12分)记$\Delta ABC$的内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,已知$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$.
(1)若$A=2B$,求$C$;
(2)证明:$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
分析:(1)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$,结合$A=2B$,可得$\sin C=\sin (C-A)$,即$C+C-A=\pi$,再由三角形内角和定理列式求解$C$;
(2)把已知等式展开两角差的正弦,由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.
解:(1)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$,
又$A=2B$,$\therefore \sin C\sin B=\sin B\sin (C-A)$,
$\because \sin B\ne 0$,$\therefore \sin C=\sin (C-A)$,即$C=C-A$(舍去)或$C+C-A=\pi$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{A=2B}\\ {2C-A=\pi }\\ {A+B+C=\pi }\end{array}\right.$,解得$C=\dfrac{5}{8}\pi$;
证明:(2)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$,
得$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$,
由正弦定理可得$ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$,
由余弦定理可得:$ac\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,
整理可得:$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
点评:本题考查三角形的解法,考查正弦定理及余弦定理的应用,考查运算求解能力,是中档题.

http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2022/2022qgyw/2022-12-16/33507.html