(12分)记$\Delta ABC$的内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$,已知$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$. (1)若$A=2B$,求$C$; (2)证明:$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$. 分析:(1)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$,结合$A=2B$,可得$\sin C=\sin (C-A)$,即$C+C-A=\pi$,再由三角形内角和定理列式求解$C$; (2)把已知等式展开两角差的正弦,由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论. 解:(1)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$, 又$A=2B$,$\therefore \sin C\sin B=\sin B\sin (C-A)$, $\because \sin B\ne 0$,$\therefore \sin C=\sin (C-A)$,即$C=C-A$(舍去)或$C+C-A=\pi$, 联立$\left\{\begin{array}{l}{A=2B}\\ {2C-A=\pi }\\ {A+B+C=\pi }\end{array}\right.$,解得$C=\dfrac{5}{8}\pi$; 证明:(2)由$\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$, 得$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$, 由正弦定理可得$ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$, 由余弦定理可得:$ac\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$, 整理可得:$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$. 点评:本题考查三角形的解法,考查正弦定理及余弦定理的应用,考查运算求解能力,是中档题.
|