|
2021年高考数学浙江15<-->2021年高考数学浙江17
16．（6分）已知椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$，焦点$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c$，$0)(c>0)$．若过$F_{1}$的直线和圆$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$相切，与椭圆的第一象限交于点$P$，且$PF_{2}\bot x$轴，则该直线的斜率是 ____，椭圆的离心率是 ____．
分析：由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离与半径相等，由此可求出直线的斜率$k$，利用斜率与$\tan \angle PF_{1}F_{2}$相等，得到$a$与$c$之间的关系，再求出离心率．
解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过$F_{1}$，设直线的方程为$y=k(x+c)$，
$\because$直线和圆$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$相切，
$\therefore$圆心$(\dfrac{1}{2}c,0)$到直线的距离与半径相等，
$\therefore$$\dfrac{\vert k\cdot \dfrac{c}{2}-0+kc\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=c$，解得$k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
将$x=c$代入$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得$P$点坐标为$P(c,\dfrac{{b}^{2}}{a})$，
$\because$$\tan \angle P{F}_{1}{F}_{2}=\dfrac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\dfrac{\dfrac{{b}^{2}}{a}}{2c}=k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore$$\dfrac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\therefore$$\dfrac{1-{e}^{2}}{2e}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore$$e=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
点评：本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，是中档题．
2021年高考数学浙江15<-->2021年高考数学浙江17
全网搜索"2021年高考数学浙江16"相关
|
