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2021年高考数学浙江14<-->2021年高考数学浙江16
15．（6分）袋中有4个红球，$m$个黄球，$n$个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为$\xi$，若取出的两个球都是红球的概率为$\dfrac{1}{6}$，一红一黄的概率为$\dfrac{1}{3}$，则$m-n=$____，$E(\xi )=$____．
分析：根据取出的两个球都是红球的概率为$\dfrac{1}{6}$，一红一黄的概率为$\dfrac{1}{3}$，得到关于$m$，$n$的方程，然后求出$m$，$n$的值，得到$m-n$的值；先确定$\xi$的可能取值，求出相应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．
解：由题意，$P(\xi =2)=\dfrac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{36}$，
又一红一黄的概率为$\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{m}^{1}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{36}$，
所以${C}_{m+n+4}^{2}=36,{C}_{m}^{1}=3$，
解得$m=3$，$n=2$，故$m-n=1$；
由题意，$\xi$的可能取值为0，1，2，
所以$P(\xi =0)=\dfrac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$，
$P(\xi =1)=\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{10}{18}$，
$P(\xi =2)=\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{18}$，
所以$E(\xi )=0\times \dfrac{5}{18}+1\times \dfrac{10}{18}+2\times \dfrac{3}{18}=\dfrac{8}{9}$．
故答案为：1；$\dfrac{8}{9}$．
点评：本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，考查了运算能力，属于基础题．
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