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2021年高考数学浙江16<-->2021年高考数学浙江18
17．（4分）已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}(\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{0})$满足$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$，$\vert \overrightarrow{b}\vert =2$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=0$．记平面向量$\overrightarrow{d}$在$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$方向上的投影分别为$x$，$y$，$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$方向上的投影为$z$，则$x^{2}+y^{2}+z^{2}$的最小值是____．
分析：首先由所给的关系式得到$x$，$y$，$z$之间的关系，然后求解其最小值即可．
解：令$\overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(0,2),\overrightarrow{c}=(m,n)$，
因为$(\overrightarrow{a}?\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=0$，故$(1$，$?2)\cdot (m$，$n)=0$，$\therefore m?2n=0$，令$\overrightarrow{c}=(2n,n)$，
平面向量$\overrightarrow{d}$在$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$方向上的投影分别为$x$，$y$，设$\overrightarrow{d}=(x,y)$，
则：$\overrightarrow{d}?\overrightarrow{a}=(x?1,y),(\overrightarrow{d}?\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{c}=2n(x?1)+ny,\vert \overrightarrow{c}\vert =\sqrt{5}\vert n\vert$，
从而：$z=\dfrac{(\overrightarrow{d}?\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{c}}{\vert \overrightarrow{c}\vert }=\dfrac{2xn+yn?2n}{\sqrt{5}\vert n\vert }$，故$2x+y\pm \sqrt{5}z=2$，
方法一：由柯西不等式可得$2x+y-\sqrt{5}z=2\leqslant \sqrt{2^{2}+1^{2}+(-\sqrt{5})^{2}}\cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$，
化简得$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$，当且仅当$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{-\sqrt{5}}{z}$，即$x=\dfrac{2}{5},y=\dfrac{1}{5},z=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ 时取等号，
故$x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值为$\dfrac{2}{5}$．
方法二：则$x^{2}+y^{2}+z^{2}$表示空间中坐标原点到平面$2x+y\pm \sqrt{5}z?2=0$ 上的点的距离的平方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：
${({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}_{min}={(\dfrac{2\times 0+1\times 0\pm \sqrt{5?}\times 0?2}{\sqrt{4+1+5?}})}^{2}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$．
故答案为：$\dfrac{2}{5}$．
点评：本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量的坐标运算，平面向量的投影，类比推理的应用等知识，属于难题．
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