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2021年高考数学上海春19<-->2021年高考数学上海春21
20．（16分）已知函数$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x$．
（1）若$a=1$，求函数的定义域；
（2）若$a\ne 0$，若$f(ax)=a$有2个不同实数根，求$a$的取值范围；
（3）是否存在实数$a$，使得函数$f(x)$在定义域内具有单调性？若存在，求出$a$的取值范围．
分析：（1）把$a=1$代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；
（2）$f(ax)=a\Leftrightarrow \sqrt{\vert ax+a\vert -a}=ax+a$，设$ax+a=t\geqslant 0$，得$a=t-t^{2}$，$t\geqslant 0$，求得等式右边关于$t$的函数的值域可得$a$的取值范围；
（3）分$x\geqslant -a$与$x<-a$两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数$f(x)$在定义域内具有单调性的$a$的范围．
解：（1）当$a=1$时，$f(x)=\sqrt{\vert x+1\vert -1}-x$，
由$\vert x+1\vert -1\geqslant 0$，得$\vert x+1\vert \geqslant 1$，解得$x\leqslant -2$或$x\geqslant 0$．
$\therefore$函数的定义域为$(-\infty$，$-2]\bigcup{[}0$，$+\infty )$；
（2）$f(ax)=\sqrt{\vert ax+a\vert -a}-ax$，
$f(ax)=a \Leftrightarrow \sqrt{\vert ax+a\vert -a}=ax+a$，
设$ax+a=t\geqslant 0$，$\therefore$$\sqrt{t-a}=t$有两个不同实数根，整理得$a=t-t^{2}$，$t\geqslant 0$，
$\therefore a=-(t-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}$，$t\geqslant 0$，当且仅当$0\leqslant a<\dfrac{1}{4}$时，方程有2个不同实数根，
又$a\ne 0$，$\therefore a$的取值范围是$(0,\dfrac{1}{4})$；
（3）当$x\geqslant -a$时，$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x=\sqrt{x}-x=-(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}$，在$[\dfrac{1}{4}$，$+\infty )$上单调递减，
此时需要满足$-a\geqslant \dfrac{1}{4}$，即$a\leqslant -\dfrac{1}{4}$，函数$f(x)$在$[-a$，$+\infty )$上递减；
当$x<-a$时，$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x=\sqrt{-x-2a}-x$，在$(-\infty$，$-2a]$上递减，
$\because a\leqslant -\dfrac{1}{4}<0$，$\therefore -2a>-a>0$，即当$a\leqslant -\dfrac{1}{4}$时，函数$f(x)$在$(-\infty ,-a)$上递减．
综上，当$a\in (-\infty$，$-\dfrac{1}{4}]$时，函数$f(x)$在定义域$R$上连续，且单调递减．
点评：本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
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