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2021年高考数学上海春18<-->2021年高考数学上海春20
19．（14分）（1）团队在$O$点西侧、东侧20千米处设有$A$、$B$两站点，测量距离发现一点$P$满足$\vert PA\vert -\vert PB\vert =20$千米，可知$P$在$A$、$B$为焦点的双曲线上，以$O$点为原点，东侧为$x$轴正半轴，北侧为$y$轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$在北偏东$60\circ$处，求双曲线标准方程和$P$点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有$C$、$D$两站点，测量距离发现$\vert QA\vert -\vert QB\vert =30$千米，$\vert QC\vert -\vert QD\vert =10$千米，求$\vert OQ\vert$（精确到1米）和$Q$点位置（精确到1米，$1^\circ )$
分析：（1）求出$a$，$c$，$b$的值即可求得双曲线方程，求出直线$OP$的方程，与双曲线方程联立，即可求得$P$点坐标；
（2）分别求出以$A$、$B$为焦点，以$C$，$D$为焦点的双曲线方程，联立即可求得点$Q$的坐标，从而求得$\vert OQ\vert$，及$Q$点位置．
解：（1）由题意可得$a=10$，$c=20$，所以$b^{2}=300$，
所以双曲线的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{100}-\dfrac{{y}^{2}}{300}=1$，
直线$OP:y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，联立双曲线方程，可得$x=\dfrac{15\sqrt{2}}{2}$，$y=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}$，
即点$P$的坐标为$(\dfrac{15\sqrt{2}}{2}$，$\dfrac{5\sqrt{6}}{2})$．
（2）①$\vert QA\vert -\vert QB\vert =30$，则$a=15$，$c=20$，所以$b^{2}=175$，
双曲线方程为$\dfrac{{x}^{2}}{225}-\dfrac{{y}^{2}}{175}=1$；
②$\vert QC\vert -\vert QD\vert =10$，则$a=5$，$c=15$，所以$b^{2}=200$，
所以双曲线方程为$\dfrac{{y}^{2}}{25}-\dfrac{{x}^{2}}{200}=1$，
两双曲线方程联立，得$Q(\sqrt{\dfrac{14400}{47}}$，$\sqrt{\dfrac{2975}{47}})$，
所以$\vert OQ\vert \approx 19$米，$Q$点位置北偏东$66\circ$．
点评：本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
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