|
2021年高考数学上海春16<-->2021年高考数学上海春18
17．（14分）四棱锥$P-ABCD$，底面为正方形$ABCD$，边长为4，$E$为$AB$中点，$PE\bot$平面$ABCD$．
（1）若$\Delta PAB$为等边三角形，求四棱锥$P-ABCD$的体积；
（2）若$CD$的中点为$F$，$PF$与平面$ABCD$所成角为$45\circ$，求$PC$与$AD$所成角的大小．
分析：（1）由$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}$，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由$PE\bot$平面$ABCD$，知$\angle PFE=45\circ$，进而有$PE=FE=4$，$PB=2\sqrt{5}$，由$AD//BC$，知$\angle PCB$或其补角即为所求，可证$BC\bot$平面$PAB$，从而有$BC\bot PB$，最后在$\rm{Rt}\Delta PBC$中，由$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}$，得解．
解：（1）$\because \Delta PAB$为等边三角形，且$E$为$AB$中点，$AB=4$，
$\therefore PE=2\sqrt{3}$，
又$PE\bot$平面$ABCD$，
$\therefore$四棱锥$P-ABCD$的体积$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times {{4}^{2}}=\dfrac{32\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\because PE\bot$平面$ABCD$，
$\therefore \angle PFE$为$PF$与平面$ABCD$所成角为$45\circ$，即$\angle PFE=45\circ$，
$\therefore \Delta PEF$为等腰直角三角形，
$\because E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，
$\therefore PE=FE=4$，
$\therefore PB=\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because AD//BC$，
$\therefore \angle PCB$或其补角即为$PC$与$AD$所成角，
$\because PE\bot$平面$ABCD$，$\therefore PE\bot BC$，
又$BC\bot AB$，$PE\bigcap AB=E$，$PE$、$AB\subset$平面$PAB$，
$\therefore BC\bot$平面$PAB$，$\therefore BC\bot PB$，
在$\rm{Rt}\Delta PBC$中，$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$，
故$PC$与$AD$所成角的大小为$\arctan \dfrac{\sqrt{5}}{2}$．
点评：本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2021年高考数学上海春16<-->2021年高考数学上海春18
全网搜索"2021年高考数学上海春17"相关
|
