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2021年高考数学上海春17

  2022-05-03 08:25:58  

17.(14分)四棱锥$P-ABCD$,底面为正方形$ABCD$,边长为4,$E$为$AB$中点,$PE\bot$平面$ABCD$.
(1)若$\Delta PAB$为等边三角形,求四棱锥$P-ABCD$的体积;
(2)若$CD$的中点为$F$,$PF$与平面$ABCD$所成角为$45\circ$,求$PC$与$AD$所成角的大小.

分析:(1)由$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}$,代入相应数据,进行运算,即可;
(2)由$PE\bot$平面$ABCD$,知$\angle PFE=45\circ$,进而有$PE=FE=4$,$PB=2\sqrt{5}$,由$AD//BC$,知$\angle PCB$或其补角即为所求,可证$BC\bot$平面$PAB$,从而有$BC\bot PB$,最后在$\rm{Rt}\Delta PBC$中,由$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}$,得解.
解:(1)$\because \Delta PAB$为等边三角形,且$E$为$AB$中点,$AB=4$,
$\therefore PE=2\sqrt{3}$,
又$PE\bot$平面$ABCD$,
$\therefore$四棱锥$P-ABCD$的体积$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times {{4}^{2}}=\dfrac{32\sqrt{3}}{3}$.
(2)$\because PE\bot$平面$ABCD$,
$\therefore \angle PFE$为$PF$与平面$ABCD$所成角为$45\circ$,即$\angle PFE=45\circ$,
$\therefore \Delta PEF$为等腰直角三角形,
$\because E$,$F$分别为$AB$,$CD$的中点,
$\therefore PE=FE=4$,
$\therefore PB=\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}=2\sqrt{5}$,
$\because AD//BC$,
$\therefore \angle PCB$或其补角即为$PC$与$AD$所成角,
$\because PE\bot$平面$ABCD$,$\therefore PE\bot BC$,
又$BC\bot AB$,$PE\bigcap AB=E$,$PE$、$AB\subset$平面$PAB$,
$\therefore BC\bot$平面$PAB$,$\therefore BC\bot PB$,
在$\rm{Rt}\Delta PBC$中,$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,
故$PC$与$AD$所成角的大小为$\arctan \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
点评:本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法,理解线面角的定义,以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
 

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