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2021年高考数学上海春14<-->2021年高考数学上海春16
15．（5分）已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$，下列是$f(x)$无最大值的充分条件是( )
A．$f(x)$为偶函数且关于点$(1,1)$对称
B．$f(x)$为偶函数且关于直线$x=1$对称
C．$f(x)$为奇函数且关于点$(1,1)$对称
D．$f(x)$为奇函数且关于直线$x=1$对称
分析：根据题意，依次判断选项：对于$ABD$，举出反例可得三个选项错误，对于$C$，利用反证法可得其正确．
解：根据题意，依次判断选项：
对于$A$，$f(x)=\cos \dfrac{\pi x}{2}+1$，$f(x)$为偶函数，且关于点$(1,1)$对称，存在最大值，$A$错误，
对于$B$，$f(x)=\cos (\pi x)$，$f(x)$为偶函数且关于直线$x=1$对称，存在最大值，$B$错误，
对于$C$，假设$f(x)$有最大值，设其最大值为$M$，其最高点的坐标为$(a,M)$，
$f(x)$为奇函数，其图象关于原点对称，则$f(x)$的图象存在最低点$(-a,-M)$，
又由$f(x)$的图象关于点$(1,1)$对称，则$(-a,-M)$关于点$(1,1)$对称的点为$(2+a,2+M)$，
与最大值为$M$相矛盾，则此时$f(x)$无最大值，$C$正确，
对于$D$，$f(x)=\sin \dfrac{\pi x}{2}$，$f(x)$为奇函数且关于直线$x=1$对称，$D$错误，
故选：$C$．
点评：本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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