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2021年高考数学上海18<-->2021年高考数学上海20
19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长$4%$．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的$18%$？
分析：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项$a_{1}=1.1$，公差$d=0.05$，再利用等差数列的前$n$项和公式求解即可．
（2）假设今年第一季度往后的第$n(n\in N^{*})$季度的利润首次超过该季度营业额的$18%$，则$0.16\times (1+4%)^{n}>(1.1+0.05n)\cdot 18%$，令$f(n)=0.16\times (1+4%)^{n}-(1.1+0.05n)\cdot 18%$，$(n\in N^{*})$，递推作差可得当$1\leqslant n\leqslant 9$时，$f(n)$递减；当$n\geqslant 10$时，$f(n)$递增，注意到$f$（1）$<0$，所以若$f(n)>0$，则只需考虑$n\geqslant 10$的情况即可，再验证出$f(24)<0$，$f(25)>0$，即可得到利润首次超过该季度营业额的$18%$的时间．
解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项$a_{1}=1.1$，公差$d=0.05$，
$\therefore S_{20}=20a_{1}+\dfrac{20(20-1)}{2}d=20\times 1.1+10\times 19\times 0.05=31.5$，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）假设今年第一季度往后的第$n(n\in N^{*})$季度的利润首次超过该季度营业额的$18%$，
则$0.16\times (1+4%)^{n}>(1.1+0.05n)\cdot 18%$，
令$f(n)=0.16\times (1+4%)^{n}-(1.1+0.05n)\cdot 18%$，$(n\in N^{*})$，
即要解$f(n)>0$，
则当$n\geqslant 2$时，$f(n)-f(n-1)=0.0064\cdot (1+4%)^{n-1}-0.009$，
令$f(n)-f(n-1)>0$，解得：$n\geqslant 10$，
即当$1\leqslant n\leqslant 9$时，$f(n)$递减；当$n\geqslant 10$时，$f(n)$递增，
由于$f$（1）$<0$，因此$f(n)>0$的解只能在$n\geqslant 10$时取得，
经检验，$f(24)<0$，$f(25)>0$，
所以今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的$18%$．
点评：本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
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