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2021年高考数学上海17<-->2021年高考数学上海19
18．（14分）在$\Delta ABC$中，已知$a=3$，$b=2c$．
（1）若$A=\dfrac{2\pi }{3}$，求$S_{\Delta ABC}$．
（2）若$2\sin B-\sin C=1$，求$C_{\Delta ABC}$．
分析：（1）由余弦定理求得$c^{2}$，从而求得$\Delta ABC$面积；
（2）由正、余弦定理求得$b$、$c$值，从而求得$\Delta ABC$周长．
解：（1）由余弦定理得$\cos A=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{5{c}^{2}-9}{4{c}^{2}}$，
解得$c^{2}=\dfrac{9}{7}$，
$\therefore S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2{c}^{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{14}$；
（2）$\because b=2c$，$\therefore$由正弦定理得$\sin B=2\sin C$，又$\because 2\sin B-\sin C=1$，
$\therefore \sin C=\dfrac{1}{3}$，$\sin B=\dfrac{2}{3}$，$\therefore \sin C<\sin B$，$\therefore C<B$，$\therefore C$为锐角，
$\therefore \cos C=\sqrt{1-(\dfrac{1}{3})^{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$．
由余弦定理得：$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，又$\because a=3$，$b=2c$，
$\therefore c^{2}=9+4c^{2}-8\sqrt{2}c$，得：$3c^{2}-8\sqrt{2}c+9=0$，解得：$c=\dfrac{4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}}{3}$．
当$c=\dfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$时，$b=\dfrac{8\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$，$\therefore C_{\Delta ABC}=3+4\sqrt{2}+\sqrt{5}$；
当$c=\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$时，$b=\dfrac{8\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3}$，$\therefore C_{\Delta ABC}=3+4\sqrt{2}-\sqrt{5}$．
点评：本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．
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