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2020年高考数学新高考Ⅱ-4

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日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为

$O)$ ，地球上一点

$A$ 的纬度是指

$OA$ 与地球赤道所在平面所成角，点

$A$ 处的水平面是指过点

$A$ 且与

$OA$ 垂直的平面．在点

$A$ 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点

$A$ 处的纬度为北纬

$40^\circ$ ，则晷针与点

$A$ 处的水平面所成角为(　　)

A．

$20^\circ$
B．

$40^\circ$
C．

$50^\circ$
D．

$90^\circ$
分析：由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点

$A$ 处的水平面所成角．
解答：可设

$A$ 所在的纬线圈的圆心为

$O'$ ，

$OO'$ 垂直于纬线所在的圆面，
由图可得

$\angle OHA$ 为晷针与点

$A$ 处的水平面所成角，
又

$\angle OAO'$ 为

$40^\circ$ 且

$OA\bot AH$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta OHA$ 中，

$O'A\bot OH$ ，

$\therefore \angle OHA=\angle OAO'=40^\circ$ ，
另解：画出截面图，如下图所示，其中

$CD$ 是赤道所在平面的截线．

$l$ 是点

$A$ 处的水平面的截线，由题意可得

$OA\bot l$ ，

$AB$ 是晷针所在直线．

$m$ 是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得

$m//CD$ ，
根据线面垂直的定义可得

$AB\bot m$ ，由于

$\angle AOC=40^\circ$ ，

$m//CD$ ，
所以

$\angle OAG=\angle AOC=40^\circ$ ，由于

$\angle OAG+\angle GAE=\angle BAE+\angle GAE=90^\circ$ ，
所以

$\angle BAE=\angle OAG=40^\circ$ ，也即晷针与

$A$ 处的水平面所成角为

$\angle BAE=40^\circ$ ，
故选：

$B$ ．

点评：本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．

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