2020年高考数学新高考Ⅰ-19<-->2020年高考数学新高考Ⅰ-21
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为。
（1）证明：平面。
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值。
（1）证明：因为底面是正方形，
所以，。
因为平面，平面，
所以平面。
因为平面平面，
所以。
因为底面，底面，
因为，
所以平面，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系。
所以，，，，。
所以过点。
设，
所以，，。
设平面的法向量为，
则有，，
令，得，，
所以，
记与平面所成的角为，
则。
当时，，
显然最大时，，因为（当且仅当时取等号），
即当时，有最大值。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
（1）证明平面，得到，然后证明平面，即可得证。
（2）建立空间直角坐标系，因为平面平面，所以过点，设，求出平面的法向量和向量所成角的余弦值，与平面所成角的正弦值，利用均值不等式的性质求出最大值即可。
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