2020年高考数学天津16<-->2020年高考数学天津18
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点。
（1）求证：。
（2）求二面角的正弦值。
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
因为平面，，
所以以点为原点，、、分别为轴正方向、轴正方向、轴正方向，建立空间直角坐标系。
由题意可得：，，，，，，。
（1）因为为棱的中点，
所以。
又因为，
所以，
（2）由题意可知，平面的一个法向量为。
因为，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
因为，
所以二面角的正弦值为。
（3）由（2）可知，平面的一个法向量为。
所以直线与平面所成角的正弦值为：
。
本题主要考查空间向量的应用。
（1）以点为原点，、、分别为轴正方向、轴正方向、轴正方向，建立空间直角坐标系，可得，，则，即可证明。
（2）由题意可知，平面的一个法向量为。设平面的法向量为，则，得到，求出，即可得到二面角的正弦值为。
（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为，代入即可求解。
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