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2020年高考数学全国卷Ⅲ--文19

(2020全国Ⅲ卷计算题)

如图,在长方体中,点分别在棱上,且

证明:

(1)当时,

(2)点在平面内。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):文数第19题
【答案】

(1)连接,如图所示。

根据长方体的性质,

平面

因为平面

所以

因为

所以四边形是正方形,

则有

因为

所以平面

因为平面

所以

(2)如图所示,在上取一点,使,连接

因为在矩形中,有

所以

四边形为平行四边形,

所以

又因为,所以

所以在长方体中,

四边形为平行四边形,

平行于所在的平面,

所以当在同一平面上时,有平面

故点在平面内。

【解析】

本题主要考查点、直线、平面的位置关系。

(1)证明平面,即可得证。

(2)在上取一点,使,连接。欲证明点在平面内,只需证明平面,即证明即可。

【考点】
平面的基本性质空间中的平行关系空间中的垂直关系点、直线、平面的位置关系
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