2019年高考数学新课标2--文20<-->2019年高考数学新课标2--文22
（12分）已知函数$f(x)=(x-1)\ln x -x-1$。证明：
（1）$f(x)$存在唯一的极值点；
（2）$f(x)=0$有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。
（1），，
则。
故函数在上单调递增。
而，
，
则在上存在唯一，使得。
当时，；
当时，，
则存在唯一的极值点，且为最小值点。
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
且，
即。
由于，则。
故。
。
则在区间与上分别存在唯一零点，
即有且仅有两个零点，
故方程有且仅有两个实根。
设，，
则，
由知，
而有且仅有两个实根，
则与为的两个不等实根，
且的两个实根互为倒数。
本题主要考查导数的运算及导数在研究函数中的应用。
（1）根据函数的解析式可写出其定义域，由知在上单调递增，而，，则在区间上存在唯一零点，则存在唯一的极值点。
（2）根据的正负可求得函数的单调性，结合特定值下的函数值，根据函数零点的判定规则可知函数在上有且仅有两个零点。设，由知，则。此时由可求得，而函数在上有且仅有两个零点，则函数的两个零点互为倒数。
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