2019年高考数学新课标2--文19<-->2019年高考数学新课标2--文21
（12分）已知$F_1$，$F_2$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} \ (a>b>0)$的两个焦点，$P$为$C$上的点，$O$为坐标原点。
（1）若$\triangle POF_2$为等边三角形，求$C$的离心率；
（2）如果存在点$P$，使得$PF_1 \perp PF_2$，且$\triangle F_1PF_2$的面积等于$16$，求$b$的值和$a$的取值范围。
（1）设，，，连接，如下图。
若为等边三角形，
则。
由于，
则为直角三角形，且。
由于，即，
则，
故。
，
即椭圆的离心率为。
（2）设满足题意的点到的距离为，
则，。
由，知，
即
整理得
则，解得。
时，，
要使方程在上有解，
则方程，
所以的取值范围为。
本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系。
（1）设椭圆焦点坐标，根据为等边三角形，得，证得为直角三角形，根据直角三角形中边与角的关系即可列式求得离心率。
（2）设点到的距离为，得，根据垂直可知，由知，列方程解得，根据可求得的取值范围。
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