2019年高考数学新课标1--文19<-->2019年高考数学新课标1--文21
已知函数，为的导数。
（1）证明：在区间存在唯一零点。
（2）若时，，求的取值范围。
（1）因为，
所以，
，
因为，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
因为，，
所以在区间存在唯一零点。
（2）当时，，
则恒成立，
即。
令，
则，
则由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
则，。
若恒成立，
则或
解得，所以的取值范围为。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）由已知函数求出其导数，对其导数求导，确定的单调性即可得其零点个数。
（2），即，使恒成立，即可求出的取值范围。
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