2019年高考数学新课标2--理16<-->2019年高考数学新课标2--理18
（12分）如图，长方体$ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$的底面$ABCD$是正方形，点$E$在棱$AA_1$上，$BE \perp EC_1$。
（1）证明：$BE \perp$平面$EB_1C_1$；
（2）若$AE=A_1E$，求二面角$B-EC-C_1$的正弦值。
（1）由题知，
因为为长方体，
所以平面，
所以，
因为与相交于点，
所以平面。
（2）已知底面是正方形，
设，，
以点为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
又因为，
则，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
已知，，
则 即
令，则，
由（1）知，
则，
即，
解得，
则，故，
则二面角的正弦值为。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
（1）为了证明直线平面，在已知的前提条件下，还需证明，因为平面，即可证得。
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，再利用两平面法向量的余弦值即可求出二面角的正弦值。
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