2019年高考数学北京--文19<-->返回列表
（本小题14分）
已知函数。
（Ⅰ）求曲线的斜率为的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设（），记在区间上的最大值为。当最小时，求的值。
（Ⅰ）由，得。
当时，即，
所以，解得或。
因为，，
所以曲线的斜率为的切线经过点或，
所以其切线方程为或，
即或。
（Ⅱ）欲证，即证，
即。
令，则。
当时，，则或。
所以，当时， ，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增。
因为，
，，，
所以恒成立，所以原不等式得证。
（Ⅲ），
由（Ⅱ）得当时，，
所以当时，，
，此时，
当时，，
①当时，，则，，
②当时，，，。
综上，，此时。
本题主要考查导数的计算、导数的概念及其几何意义以及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）根据原函数求出其导函数，令其导函数值为，即可求出其切点的坐标，从而写出切线方程。
（Ⅱ）欲证，可转化为求在上的最大值和最小值，利用导数求出其单调性即可得出其最值。
（Ⅲ）根据第（Ⅱ）问可写出的表达式，对进行分类讨论，求出当取最小值时的取值即可。
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