2019年高考数学北京--理7<-->2019年高考数学北京--理9
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于。
其中，所有正确结论的序号是（ ）。
本题主要考查函数综合。
①项，根据对称性，此处考虑的情况。
（ⅰ）当时，方程可写作，解得。
即时，曲线经过整点与。
（ⅱ）当且时，由于，当且仅当时取等号；
设，则，
当且仅当时，该方程有唯一整数解，
则有唯一整数解。
（ⅲ）当且时，曲线经过点。
（ⅳ）当且时，，此时，
方程不可能有整数解。
综上所述，时，曲线经过整点，，与。
由对称性知也经过整点与。
即曲线恰好经过个整点。故①项正确。
②项，根据对称性，仅考虑的情况，此时。
（ⅰ）当时，，点与到原点距离均为，。
（ⅱ）当且时，，此时，
则此段曲线上的点到原点距离小于。
（ⅲ）当且时，曲线经过点，该点到原点距离为，。
（ⅳ）当且时，，
所以，当且仅当时取等号。
综上所述，当时，曲线上的点到原点的距离均不大于。
故曲线上所有点到原点的距离均不大于，故②项正确。
③项，依次连接①中的整点，， ，，，。
这些点的连线均处于心形区域内部，
即心形区域的面积不小于这些点围成的面积。
而这些点围成的面积为，
则心形区域的面积大于，故③项错误。
故正确选项的序号为①②。
故本题正确答案为C。
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