本题主要考查函数综合。

①项，根据对称性，此处考虑的情况。

（ⅰ）当时，方程可写作，解得。

即时，曲线经过整点与。

（ⅱ）当且时，由于，当且仅当时取等号；

设，则，

当且仅当时，该方程有唯一整数解，

则有唯一整数解。

（ⅲ）当且时，曲线经过点。

（ⅳ）当且时，，此时，

方程不可能有整数解。

综上所述，时，曲线经过整点，，与。

由对称性知也经过整点与。

即曲线恰好经过个整点。故①项正确。

②项，根据对称性，仅考虑的情况，此时。

（ⅰ）当时，，点与到原点距离均为，。

（ⅱ）当且时，，此时，

则此段曲线上的点到原点距离小于。

（ⅲ）当且时，曲线经过点，该点到原点距离为，。

（ⅳ）当且时，，

所以，当且仅当时取等号。

综上所述，当时，曲线上的点到原点的距离均不大于。

故曲线上所有点到原点的距离均不大于，故②项正确。

③项，依次连接①中的整点，， ，，，。

这些点的连线均处于心形区域内部，

即心形区域的面积不小于这些点围成的面积。

而这些点围成的面积为，

则心形区域的面积大于，故③项错误。

故正确选项的序号为①②。

故本题正确答案为C。