2018年高考数学天津--理19<-->返回列表
已知函数，，其中。
（1）求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；
（3）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线。
（1）由已知，，有，
令，解得。
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为。
（2）证明：
由，可得曲线在点处的切线斜率为，
因为这两条切线平行，故有，
即，
两边取以为底的对数，得
，
所以。
（3）证明：
曲线在点处的切线：，
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，，使得与重合，
即只需证明当时，方程组
有解，
由①得，代入②，得
③，
因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解，
设函数，
即要证明当时，函数存在零点，
，可知时，；
时，单调递减，又，，
故存在唯一的，且，使得，即，
由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值。
因为，故，所以
，当且仅当时取得。
下面证明存在实数，使得。
由（1）可得，当时，有
所以存在实数，使得。
因此，当时，存在，使得。
所以，当时，存在直线，使是曲线的切线也是曲线的切线。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）对进行求导，得到，根据的符号判断的单调性，即可求出的单调区间。
（2）分别求得和的导函数，根据两条切线平行，得，得，两边同时取以为底的对数，即可证明。
（3）设切线为，切线为，若存在直线同时与和相切，得，得到，只需证明，在时，函数存在零点。
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