2018年高考数学新课标1--理16

本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。

$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x$
$=2(2\cos^2 x+\cos x -1)$

令$t=\cos x$，
则$f'(x)=g(t)$$=4t^2+2t-2$，$t\in [-1,1]$。

$f(x)$在$[-1,\dfrac{1}{2}]$上单调递减，在$[\dfrac{1}{2},1]$上单调递增，

故，当$t=\dfrac{1}{2}$即$\cos x=\dfrac{1}{2}$时，$f(x)$取得极小值，

显然仅需研究一个周期内的最值。

即研究$f(x)$在$[-\pi, \pi]$内的最值，则当$x=-\dfrac{\pi}{3}$时，

$f(x)$取得最小值，即$f(x)_\text{min}=-\dfrac{3}{2} \sqrt{3}$。

故本题正确答案为$-\dfrac{3}{2} \sqrt{3}$。