2018年高考数学江苏18<-->2018年高考数学江苏20
设，分别为函数，的导函数。若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”。
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，。对任意的，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由。
（1）证明：，，
令，即，此方程组无解，
所以函数与不存在“点”。
（2），，
令，得，解得。
（3），，
令，得，
即，
所以，
整理得，即，
同时，，即，
将代入，得，即，
令，得，解得或，
由（）得，令，，，则存在使得，此时满足方程组，即是与在区间内的一个交点。
因此，对任意的，存在，使函数与在区间内存在“点”。
本题主要考查直接证明与间接证明和导数在研究函数中的应用。
（1）根据定义令，无解，故不存在“点”。
（2）根据定义令，解得即可。
（3）先假设存在，同理令，整理得到，，
发现当时，、均大于，且使得方程组有解，所以对任意的，存在，使函数与在区间内存在“点”。
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